固定增益跟踪滤波器也称固定系数滤波器，常见的有

、

滤波器及其变形。

和

跟踪器分别是一维二阶和三阶滤波器，它们等效于一维卡尔曼滤波的特例，其基本结构与卡尔曼滤波器相似。

滤波器对目标的位置、速率（多普勒）和加速度等信息进行平滑和预测，是一种具有多项预测和校正的线性递归滤波器。根据测量数据，

滤波器能够预测目标的位置、速率以及恒定加速度等信息，已广泛应用于导航和火控装置。

因为本期大多为公式推导过程，故先给出结果，最后有相关仿真可以做参考。

滤波器为跟踪滤波器，故其主要实现的功能即是通过目标现有状态的观测值（位置、速度、加速度等），预测目标下一时间的状态。

而由目标现有观测值得到目标的预测值需要通过状态转移矩阵

来完成。而预测过程中需要引入平滑处理来减小误差，同时还需要消除噪声的干扰，故还需要引入增益矩阵

，由状态转移矩阵

和增益矩阵

即可预测目标在下一时刻的状态。

用

表示采用

时刻以前的所有数据（包括

时刻）对第

时刻数据的估计值，

表示第

时刻的观测值，

表示第

时刻的误差。

固定增益滤波方程为

式中，

为状态转换矩阵，

和

矩阵在不同滤波器中会不同。借助状态转换矩阵预测下一个状态，

则可得

上式右边中括号内为残差（误差），即测量输入与预测输出之差。该式表示

的估计是预测值

和残差

加权之和，

代表预测状态。

在

这类预测器中，

以行向量给出

增益矩阵

如下

其中，上标的正体“T”表示转置，式中的斜体“

”表示采样周期。

跟踪滤波器的一个主要目标是降低测量过程中噪声的影响。为此，首先要计算噪声协方差矩阵，具体形式如下：

表示数学期望。假设噪声是均值为零、方差为

的随机过程，并且假设噪声之间不相关。即

则固定增益滤波方程可写为：

式中

，得：

将该式右边展开，即

稳态下，可合并为：

这里

为稳态噪声协方差矩阵，稳态时

确定固定增益滤波器性能的标准有很多，最常用的一种是计算方差的缩减率（VarianceReductionRatio，VRR），即当输入只有噪声时，输出噪声的方差（功率）与输入噪声的方差（功率）之比。在稳定状态情况下，它表示滤波器对噪声的抑制程度。

为了衡量跟踪滤波器的稳定性，对上式进行

变换，则

系统传递函数为：

式中

为特征矩阵。只有当特征矩阵为非奇异矩阵时，系统传递函数才存在。此外，当且仅当特征方程的根在平面的单位圆内时，系统才是稳定的，即

滤波器的稳定状态误差可用下图来确定，

误差的转换函数如下：

由阿贝尔（Abel）定理，稳态状态的误差为

即

滤波器

滤波器是在第

个观察时刻，对位置

及其速率

进行平滑和对第

时刻的位置进行预测。该滤波器的结构如下图所示。

滤波器能够没有任何稳态误差的跟踪输入距离斜坡（恒定速度）。然而，当输入端存在恒定加速度时，稳态误差将会累加起来。

在预测位置处，通过对测量值与预测值之差加权，并加在预测位置上进行平滑处理，以减小误差，如下式所示（下标“

”和“

”分别表示预测和平滑）。

是位置输入采样点，预测位置计算公式如下：

初始条件为

一维二阶线性时不变系统的协方差矩阵可表示如下：

这里，

一般为

通过观察，

滤波器具有下列形式：

增益矢量：

观测矢量：

状态转移矩阵：

最后，得出稳态噪声协方差矩阵为

则位置和速率的VRR计算公式如下

滤波器的稳定性取决于系统传递函数，由

，可得

的根为

为了满足稳定性，有

当

是实数时，

当

是复数时，可得出

得到系统传递函数为

上面对

滤波器的分析并未具体涉及增益系数（

和

）的选取。在考虑如何选择系数前，应考虑使用该滤波器的主要目标，

滤波器要实现以下两个目标：

跟踪器必须尽可能地降低测量噪声

能够跟踪机动目标，跟踪错误率降到最低。

减少观测噪声一般取决于VRR率。但是，滤波器的机动性能很大程度上决定了参数

、

的选择。一种特殊的

滤波器由Benedict和Bordner提出，因此也称为Benedict-Bordner滤波器。

该滤波器最主要的优点是降低瞬时误差。它用位置和速率的VRR率来测量其性能。它计算输入和输出的平方误差总和，并当参数

、

的选择满足下式时误差最小，

在这种情况下，位置和速率的VRR分别为

为了提高

滤波器的性能，提出了一种自动调节滤波器的参数

和

的方法，使得滤波值协方差最小，从而得到

的最优估计。

总之，要想提高

滤波器的性能，首先要考虑滤波器的结构设计问题,其次要考虑滤波器的参数设计问题。前者解决

滤波器跟踪机动目标的问题，而后者解决跟踪精度的问题。

滤波器

滤波器能够较好地平滑第

时刻的位置

、速率

、加速度

等信息，也能够预测第

时刻的位置和速率，其结构框图如下图所示。

滤波器将跟随一个加速度恒定、无稳态误差的输入。为了降低输出误差，在估计平滑位置、速度和加速度时，采用了测量值与预测值之差的加权差。具体如下：

初始条件为

则

滤波器的状态转移矩阵

噪声协方差矩阵（对称）可由式

计算出。注意到：

增益矢量：

观测矢量：

将上式代入式

，计算位置、速度、加速度的VRR为

与任何离散时间系统类似，当且仅当所有极点都落在单位圆内，滤波器才稳定。

以下求解

滤波的特征方程

整理可得出以下特征函数

当

时

滤波器转化成Benediet-bordner滤波器。注意当

时，上式简化为

。临界衰减滤波器的增益系数如下

为平滑系数，当

趋近于

时，产生深度平滑，而当

时没有平滑。

假设一目标它的初始时刻的距离为

，初始速度为

，加速度为

，因此在理想的情况下（不考虑噪声或干扰），目标的运动轨迹为

若采样间隔为

，采样点数为

，平滑系数分别为

和

，则利用式

可计算出与之相对应的临界衰减滤波器的增益系数。当

时，增益系数

，

，

；当

时,增益系数

，

，

。观测噪声为零均值、方差为

。下图（左）为这两种增益时对观测点迹的

滤波结果，下图（右）为这两种不同增益情况下点迹的估计误差。可见，利用

滤波器可以减小观测点迹的误差。

滤波器的仿真代码如下图所示。