超级电容有着独特的充放电属性，针对超级电容数学模型的研究，定量的掌握超级电容的属性规律，对于超级电容的系统管理，剩余电量SOC估计，健康状况SOH估计，均衡控制等等，都是无法绕过的基础工作。尤其将超级电容应用在电动汽车上，准确的掌握各个参数之间的关系，是充放电过程控制的基础。本文主要汇总部分当前超级电容模型识别的研究成果，介绍模型的大体应用方式。

常见的超级电容模型包括电化学模型和等效电路模型。电化学模型能很好地反映超级电容的内部工作机理，但无法反映超级电容的物理特性。等效电路模型采用电阻、电容元件描述超级电容的动态工作特性，具有实际的物理意义，因此具有很强的实用性。由于超级电容等效电路参数辨识的结果直接影响模型精度，因此在建立超级电容等效电路模型的基础上，采用合适的方法对模型参数进行有效辨识显得尤为重要。

建立精确、实用的模型对于优化超级电容组的能量管理和功率控制十分关键。研究人员提出许多超级电容模型，大致分为三类：电化学模型、神经网络模型和等效电路模型。从超级电容内部物理化学反应的基本原理出发，电化学模型利用复杂的偏微分方程能够精确描述超级电容内部的物理化学变化，但该类模型结构复杂、模型参数多，且部分参数难以辨识。神经网络模型可以精确描述给定输入与输出的函数关系，但模型精度取决于模型训练数据的数量和质量，而且超级电容使用过程中模型参数随着老化发生变化，需要重新训练模型，耗时费力，导致该类模型实际应用价值较低。等效电路模型是利用电容、电感、电阻等电路元件组成的电路网络，模拟超级电容的电压响应特性，具有参数少、模型精度高等优点，适用于能量管理系统和控制器的设计。常见等效电路模型如下图所示。

1等效电路模型

经典等效电路模型，如图a所示。该模型由一个串联电阻，一个并联电阻和一个理想电容组成，模型参数是通过测量充电过程中的电压响应获得的，但是，该模型仅能够描述超级电容数秒时间尺度内的动态性能。

三支路电路模型，如图b所示。该模型由三个具有不同时间常数的支路并联构成，每个支路又分别由一个电容与一个串联电阻组成，其中，具有最短时间常数的支路电容是由一个常规电容与一个基于电压变化的电容(电容量与电压成正比)并联组成。通过测量恒流充电过程不同时间段的电压响应确定模型参数。在上述模型的基础上，进一步利用一个变电阻模拟超级电容自放电现象，提高了模型对电荷重新分布过程的模拟能力。如果将温度对模型参数的影响引入建模过程，建立了基于温度的变参数三支路等效电路模型，提高了模型在不同温度环境下的预测能力，并通过不同温度下的脉冲充放电试验验该模型的有效性和准确性。

动态模型，研究人员通过电化学阻抗谱法(Electrochemicalimpedancespectroscopy,EIS)研究超级电容在频域内的阻抗特性，以此为基础提出了动态模型，如图c所示。该模型由一个串联电阻，一个电容以及若干个RC网络串联组成，通常情况下，2个RC网络即可达到较高的模型精度。MUSOLINO等[27]利用二阶动态模型(含2个RC网络)替代三支路模型中时间常数最短的支路，建立了超级电容等效电路模型，试验结果表明该模型在高频和低频范围内均可以精确地描述超级电容的阻抗特性。

阶梯模型，在阶梯模型中，每个RC子电路代表一个实际超级电容电极极孔的电容与电阻特征，如图d所示。该模型可以有效模拟超级电容内部电荷的均衡过程，而且阶梯的数目可以变化，数目越多往往模型精度越高，同时，模型结构也越复杂，因此，可以根据具体应用的需要，选择合适的阶梯数目，在满足模型精度要求的同时，尽量减小模型的复杂度。有人基于仿真步长，提出了利用数值方法实现自动选择“阶梯”数目的超级电容模型，提高了模型运算效率。另外的研究，面向电动车辆应用，从模型预测精度、模型复杂度以及鲁棒性等方面对比研究现有常用等效电路模型的有用性，特别是，提出了模型鲁棒性的概念，用于表征模型在推广到未知运行工况时保持预测精度的能力。

有人对三类模型进行综合研究，认为阶梯模型的模型精度和鲁棒性最差，动态模型综合表现最佳。

2模型参数辨识

等效电路模型的精度很大程度上取决于模型参数辨识方法。目前，超级电容模型参数辨识方法包括最小二乘法、粒子群算法、自适应模糊估计算法、二元二次方程拟合等。最小二乘法简单直观，对非线性模型参数具有很好的统计计算效果，但辨识精度不高；粒子群算法能提高模型参数辨识的精度，但计算复杂，特别是对时变系统不易实现在线参数辨识；自适应模糊估计对非线性系统有较好的鲁棒性，但稳态误差难以补偿；二元二次拟合方法求解结果为特定的解，常因虚根问题造成辨识结果不准确。考虑超级电容的容量随电压变化，还需要辨识超级电容的可变电容分支参数。常用的辨识方法包括可控电流充电响应法和ESI阻抗谱法等离线方法和基于卡尔曼滤波器的在线方法。

等效电路模型具有拓扑结构灵活、参数易辨识、精度高、适于在线运算等特点；电化学模型，通常模型结构越复杂，模型精度越高。工程上可通过对应用场合的分析，综合考虑模型复杂度、模型精度、运算效率等，选择合适的模型拓扑，再结合一定的参数估计方法，建立精确、实用的超级电容模型。

3等效模型在SOC估计中的应用

基于模型的状态观测器方法常用来估计超级电容的SOC。该类方法具有在线、闭环和自修正等优点，其估计精度受制于模型精度。基于超级电容动态模型，结合温度对性能的影响，研究人员利用扩展卡尔曼滤波方法在线估计超级电容的SOC。首先利用交流阻抗谱EIS方法测得超级电容在不同温度和电压下的阻抗谱；然后，基于最小二乘法估计动态模型和热模型的最佳模型参数。再次，结合超级电容电路模型，将扩展卡尔曼滤波EKF应用于SOC估计运算过程中，逐步估算下一个时刻的SOC值；最后，利用标准工况试验验证了SOC估计方法的有效性和准确性。扩展卡尔曼滤波EKF算法工作原理框图如上图所示。

也有将电路模型结合其他SOC估计方法进行SOC计算的设计。有人基于三支路等效电路模型，设计了一种基于卡尔曼滤波器的SOC估计方法，据称该方法的SOC估计误差可以达到达到1%以内。

模型在实际应用中存在着一些难以绕过的困难。首先，电动车辆运行条件复杂多变，利用离线方法辨识出的模型在应用过程中往往出现模型偏差；其次，随着超级电容的老化，内部物化参数也随之发生变化，在全寿命周期内，需要定期辨识和更新模型参数以保持模型精度。

4复合电源能量分配

超级电容的建模以及SOC估计，最终目的是希望在复合电源系统的电动汽车上，最大化发挥超级电容的作用，是合理的电源能量分配策略的基础。下图是一个利用复合电源给电动汽车供电的系统框图，组成电源的两个部分分别是锂电池和超级电容。什么情形下，两种电源分别放出多大的功率，能够满足电机的要求，实现续航里程和加速性能的最优化，是复合电源系统的调控目的。

在电路等效模型中，作者选择了Rint模型作为锂电池等效电路，选择超级电容的电路模型也比较简单的经典模型。系统采用PID控制原理控制锂电池组和超级电容模组的功率输出，将电压作为确定超级电容输出的主要参考参数，决策过程如下图所示。

在行车过程中，该策略将实时监测超级电容的电压值Ucap，当实测Ucap大于设定值Ucap_ref时，说明超级电容存储的能量增多，负荷较轻，此时该策略会适当增大超级

电容的负荷，减少锂电池组的功率输出，使超级电容的电压回落。

当该策略监测到的超级电容电压值Ucap小于设定值Ucap_ref时，表明超级电容的能量减少，负荷较大，此时该策略会适当增大锂电池组的功率输出，减小超级电容的负荷，使超级电容的电压值逐渐增加。大电流的输入、输出会使超级电容的电压出现小幅

度的脉冲抖动，在电流消失后，电压会逐渐恢复到真实水平，为消除此部分抖动对能量分配策略的影响，采用FIR滤波器对超级电容的电压进行平滑处理。

由于能量回收过程的存在，超级电容的电量不宜过高，时刻准备接收能量；又由于某些特定工况，需要超级电容提供大功率承担爬坡或者加速的任务，因此，超级电容的电量也不宜过低。因此，在放电过程中，判断超级电容的荷电量，是分配复合电源放电功率的主要参考。

本文主要整理自下列文献：

1李允超，储能技术发展现状研究；

2彭庆艳，超级电容车与纯电动公交车适用条件分析；

3张雷，超级电容管理技术及在电动汽车中的应用综述；

4张乐，采用权值分配优化的超级电容等效电路模型参数辨识；

5胡美聘，电动汽车复合电源能量分配策略研究；

6王洋，基于锂电池与超级电容的双电源管理系统；

（图片来自互联网公开资）