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理论力学—动力学_一个特例_在平衡点附近的往复运动问题—振动/震动

力学中的定义和数学中的定义是一样的，都是形式化的。严谨的、严格的、唯一性的、非歧义的；基本要素被定义之后，总结、归纳、寻得基本要素之间的关联和规律，就成了逻辑推导的原则，通过逻辑推导可获得所需要的结论-推论等。（定义、定理、引理、推论、……）

理论力学的研究方法是，将研究对象抽象-简化为刚体模型—也即是说：任何研究对象在的作用下，其几何尺寸不会发生任何改变—无论力有多大，研究对象上的任何两点之间的连线距离不会发生任何改变。--这就是现代科学技术的解析法-形式化方法-形式逻辑方法所使用的—需要先对问题的基本要素进行严格定义（什么是刚体-刚体是什么）。

研究对象特性的因果关系—遵循牛顿定律F=MA

由常力到变力—力与时间-位移-速度-状态等有关，比如弹性力-与位移有关

振动/震动的分类问题

1．为什么要分类，怎样分类

这个问题是学习者要仔细考虑的问题。为了研究问题的方便，常常对问题进行分类。这里所说的方便有几层意思，例如：先简单、后复杂，先基本、后一般。对学生来讲，先用最简单、最基本（用以构造复杂问题的基石——不可分割的单元或要素或称元素）的问题，引入基本概念，介绍基本方法，推证基本结论。可以分散难点，学会由简单到复杂的研究方法。因为实际问题不都是简单问题。通过分类的方式可以逐个解决某一属性的问题，或集中讨论问题的某一方面，最终综合研究。对于实际的问题，则要掌握化解的方法、归类的方法。就是把实际问题如何分解为若干个类型，或根据实际问题的观测，判断将其归属于何种类型最为恰当等。分类的方法很多，可以根据运动对象的特性、振动参数的特性、振动系统的数学表达式等等来分类。

将建筑物与基础，或飞机与空气，或机器与支撑物；将机器的某个部件，或零件等都可以视为一个整体——被称为系统（研究对象）。它是由单个或多个物理实体的有机组合获得的一个整体。这个整体的参数界定、选择、抽象、关联灯饰系统识别的基石。研究对象以外的机械作用（力）——被称作输入或激励。由于外界作用使系统产生的振动——被称作输出或响应（机械振动有与系统论、控制论、或电子学中相同的名词提法）。可以用框图表述如下：

振动问题的逻辑框架

在机械振动问题的研究中，若根据以上框图来处理问题，则可以将机械振动问题归为三类：已知输入或激励与系统（研究对象），求输出或响应；已知系统（研究对象）与输出或响应，求输入或激励；已知输入或激励与输出或响应，求系统（研究对象）特性。这三类分法，在机械振动中或者说在工程实际中，又有各自的称谓。第一类习惯叫做系统动力响应分析。第二种叫法多样，在噪音污染治理领域，叫做环境检测；在振动机械设计中则是激振源设计。第三类称为系统识别。这些语言描述也可以用数学的形式来表达为１、振动设计：已知系统动态特性（ｍ，ｋ，ｃ等）、激励参数（F（x，t）等）、求响应；2、环境预测：已知响应Y（t）和系统动态特性（m，k，c等）、求激励（F（x，t）等）；3、系统识别：已知激励（F（x，t））和响应Y（t），求系统动态特性（m，k，c等）。确定系统的动态特性是所有问题研究的核心，它包括了系统构造分析、原理研究、物理模型、数学模型建立等。

系统动力响应分析这类问题，是机械振动中最基本的、经典的问题，是成熟的研究成果最多的问题，也是工程中最常见的问题。主要工作有：（1）对已经确定的振动系统，确定其激励的各个参数，确定研究对象（系统）的物理结构参数，由此计算系统的响应，从而演算结构或产品在工作状态下的动态性能，以保证系统安全的、正常的运行。（2）对含有振动问题的系统，建立适当的力学模型，确定其激励的各个动力参数，确定研究对象（系统）的物理结构参数，由此计算系统的响应，并由系统响应的满意程度更改激励或系统的相关参数。这种情况有人称为振动设计。

环境预测这类问题的主要研究领域在环保中的噪音控制方面。在电信领域也有广泛的研究。在振动机械的设计中，求激励的问题非常重要，但一般都是和系统参数的优化结合进行的。

系统识别是蓬勃发展、方兴未艾的极为广泛的（环保、机器、车辆、飞机、轮船、通信、计算机、电子、电力、网络等等）研究领域。本书所讨论的主要是非电系统（也是其它系统研究的基础），主要工作有：系统物理参数的辨别与确定——称作物理参数识别或参数识别；系统振动时，与其振动有关的系统的固有特性的研究与确定——也称做模态分析、模态参数识别、实验模态分析等。系统建模（请留意黑色系统、灰色系统、白色系统等名词）、实验设计与结果分析在此类问题的研究中占有相当大的比例。系统识别的重点在于对系统组成元素、组成方式、关联方式的物理本质的理解与模型化、参数化。简单的说，就是要确认那些元素是质点、刚体、弹性体，那些有阻尼，单个元素的振动特性与多个元素组合的振动特性的的关联等。

根据实际问题的要求，对振动系统可采用不同的力学模型，从而将振动问题分为连续系统与离散系统。而实际问题却都是连续系统。如何简化，则是建模问题所要讨论研究的。

由于机械振动问题是力学中的动力学分支之一，所以又涉及到自由度问题。所谓自由度是指振动系统的自由度。即：完全描述该系统一切部位，在任何瞬时、在空间所处的位置所需要的独立坐标的数目。也就是描述振动系统的数学函数所需要的独立自变量的个数（独立参数的数目——理论力学、机械原理、结构力学等学科有论述）。由此又将振动系统分为有限自由度（单自由度、多自由度）和无限自由度两大类。有限自由度又称为集中参数系统。无限自由度系统又称为分布参数系统。

按照描述振动系统的数学表达式，可以将振动问题分类为线性与非线性问题。它是由系统参数与振动量的函数关系来分类的。若采用（根据实际问题的要求的力学简化或数学简化而定）线性微分方程描述拟研究的振动问题，相应的振动系统则被称做线性振动系统，简称线性系统。若采用非线性微分方程描述拟研究的振动问题，相应的振动系统则被称做非线性振动系统，简称非线性系统。

由系统与外界的能量交换来分类，可以将机械振动分为保守（封闭）与非保守（耗能或能量交换）系统。

按照激励（输入）的性质，可以将机械机械振动分为，自由振动、强迫振动、随机振动、自激振动、参数振动等。自由振动是指激励（初始扰动）消失（解除）后系统所做的振动。它反映了振动系统的固有动力特性。强迫振动是指激励作用在系统上时，该系统所做的振动。它反映了振动系统的固有动力特性与外界激励力的关系。或者说振动系统的固有动力特性对外界输入的变换特性。随机振动是指激励或系统的动力特性是用数学中的随机理论来描述的、来研究的振动问题。自激振动是指振动来自系统本身，即系统自身运动诱发出来的激励，并能维持系统振动。参数振动是指激励（初始扰动）与系统的参数相关联所做的振动。

分类与研究方法有关。通过单个问题的认识、多个问题的认识、总结共性、提炼规律，通过实际应用验证实。对于今后的学习研究大有好处。

详细的分类也可以罗列如下：

确定性参数、单自由度无阻尼线性系统的自由振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．．．．．．．强迫振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．非线性系统的自由振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．．．．．．．强迫振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

随机性参数、．．．．．．无．．．线性系统的自由振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．．．．．．．强迫振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．非线性系统的自由振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．．．．．．．强迫振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

确定性参数、多自由度．无．．．线性系统的自由振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．．．．．．．强迫振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．非线性系统的自由振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．．．．．．．强迫振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

随机性参数、．．．．．．无．．．线性系统的自由振动

随机性参数、．．．．．．无．．．线性系统的自由振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．．．．．．．强迫振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．非线性系统的自由振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．．．．．．．强迫振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

确定性参数、连续弹性体无．阻尼线性系统的自由振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．．．．．．．强迫振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．非线性系统的自由振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．．．．．．．强迫振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

随机性参数、．．．．．．无．．．线性系统的自由振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．．．．．．．强迫振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．非线性系统的自由振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

．．．．．、．．．．．．无．．．．．．．．强迫振动

．．．．．、．．．．．．有．．．．．．．．．．．．

2．问题研究的基本要点

根据工程问题研究的特点，可以将振动问题的研究要点归结为三个方面。

(1）系统自身问题研究：包括系统（研究对象）范围的界定，系统元素构造及其关系的确定，系统元素及其关系的物理属性分析，从而建立物理模型，并由物理模型和数学知识获得数学模型。由此获得系统参数的函数表述，如确定性参数、非确定性参数；单自由度、多自由度、连续弹性体；线性与非线性关系等。实质上是要确定系统的数学表达式的组成项数目、每一项的系数特点（常量、变量（随时间或随坐标等）、随机量等）、变量的特点（自变量、因变量、线性因子、非线性因子等）。这一部分的研究结果最终归结为自由振动问题给出的参数及其物理属性。这是一个内部问题。

（2）激励问题：实际上是外部问题，外部的因素（力、位移、速度等）作用于系统。主要是激励F(t,x,y)的数学形态处理，如单个确定性的简谐激励、多个确定性的简谐激励、周期性激励、非周期性激励、随机激励等。这一部分的研究最终归结为函数变换问题。象富利埃级数、富利埃积分、富利埃变换、随机激励的统计特性参数表达、随机激励中频率成分的关系、频率与振幅的关系等。

（3）系统对外界的反应：实际上是响应问题，是指系统得到外界的作用以后，产生的反应，也就是输出。它必然带有系统特性的印记，同样的激励、不同的系统会产生不同的响应。共振问题、自激问题、激励的频率与系统固有频率的关系、随机变量中的频率成分与系统固有特性的关系、随机变量中的频率成分与振幅的关系等。这一部分的研究结果最终归结为强迫振动问题给出的参数及其物理属性，可以简单的表述为：

响应=系统因子*激励

由此三个方面的研究可以一目了然。

最简单的抽象记忆最基本的振动-信号分析框架一般化的分析过程

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